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    【提倡研究式教学,沟通大中数学联系】小学数学新课标解读

    时间:2019-03-15 06:44:16 来源:星星阅读网 本文已影响 星星阅读网手机站

      摘 要:以用不动点迭代教学为例,探讨大学数学教学提倡研究式教学、沟通大学数学与中学数学联系的有效途径和方法:一是挖掘高等数学与初等数学联系的切入点,突出数学概念、原理发生发展过程的研究式教学;二是浅化高等数学,发挥高数思想方法对初等数学的指导作用;三是运用高等数学,体现高等数学驾驭初等数学的优越性.
      关键词:大学数学;研究性教学;不动点迭代收敛定理;中学数学
      
      大学数学如何指导中学数学教学一直是人们关注的重要课题,当前高中教学已进行新的课程改革,将微积分,概率统计,算法,初等数论,图论初步等有关大学数学作为必修课或者选修课程放到高中教学中,每年的高考数学试题也渗透着高等数学的内容,我们不难从高考题中找到高等数学的影子。我们认为,大学数学教学提倡研究式教学是沟通大学数学与中学数学联系的有效途径和方法。本文以大学《数值计算方法》中的不动点迭代教学为例,略作说明。
      一、挖掘高数与初数联系的切入点,突出数学概念、原理发生发展过程的研究式教学
      众所周知,大学数学与中学数学有着密切而广泛的联系,但从大学数学的高度审视中学数学,一是需要挖掘高等数学与初等数学联系的适当切入点,二是突出数学概念、原理发生发展过程的研究式教学。
      (一)不动点迭代是联系高等数学与初等数学的好案例
      函数与方程一直是高中数学教学的重点,为适应计算机科学的发展,高中数学新课程增加了利用(借助计算器或计算机)二分法求方程实根近似值等新内容.普通高中《数学课程标准》指出:“根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。”“进一步体会用有理数逼近无理数”的思想,并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作,感受“逼近”过程。“应鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。例如,利用计算器或计算机……求方程的近似解等。”
      随着计算机技术的迅速发展与广泛应用,方程实根的近似计算焕发出新的活力,在处理实际问题中具有重要的应用意义.自然科学、工程技术、经济与医学等领域中遇到的许多问题,都可应用有关学科知识和数学理论用数学语言描述为数学问题或建立数学模型。然而,这些问题中只有很少一部分可以给出解析解,而绝大多数则得不到准确解或求解的工作量很大,只能借助计算机求其近似解(称为数值解或计算解)。运用计算机解决现代科学(如天文学等)与工程中大规模科学计算问题的步骤先是提出能在计算机上实现的数值方法,继而用计算机语言编写程序,最后上机计算求出结果.这就要求建立的数值方法(算法)应便于在计算机上实现、计算工作量尽量小、存储量尽量小、问题准确解与计算解的误差小等。
      不难发现,大学《数值计算方法》不动点迭代是联系高等数学与初等数学的好案例。
      (二)注重揭示数学概念的发生过程与数学原理的证明过程
      数值方法是对给定问题的输入数据和所需结果(输出)之间的一种明确的数学描述.非线性方程近似解数值计算的基本思想是从函数f(x)的零点ξ的一个初始近似值x0出发,通过迭代导出一个收敛于ξ的序列{xn}(n=0,1,2,…),当n充分大(如n=k)时,用xk作为ξ的近似值,即ξ的计算问题转化为有限次迭代计算x0,x1,…,xk;常见的方法有二分法、牛顿法、割线法等,二分法是最简单的数值方法,它只要求函数连续,因而使用范围广并便于在计算机上实现,但收敛速度比割线法慢,计算步骤也多一些[2]。
      一般地,设函数Φ(x)是一个具有连续导数的连续函数,c(x)是任一不为0的函数,且满足Φ(x)=x-c(x)f(x),则方程f(x)=0与Φ(x)=x同解。
      适当选取一个初始近似值x0,由迭代公式xn+1=Φ(xn)(n=0,1,2…)确定序列{xn}(n=0,1,2…).可证当|Φ"(x)|   例1:(2006高考数学广东理20)A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:①对任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2) ;②存在常数L(01时,有f(x)恒等于常数。
      问题2:设函数f(x)定义在[a,b]上,且f(a)=f(b),满足a次Lipschitz条件,即存在正常数K,对任意的x,y∈[a,b]有|f(x)-f(y)|≤k|x-y|a (0  三、运用高等数学,体现高等数学驾驭初等数学的优越性
      收敛性定理还为解决与函数、方程、不等式、数列等有关的不动点问题,提供了清晰而简便的方法. 如运用不动点方法可解决如下问题:
      问题3:已知函数f(x)=6x-6x2,设函数g1(x)=f(x),g2(x)=f[g1(x)],g3(x)=f[g2(x)],…,gn(x)=f[gn-1(x)],…
      设区间A=(-∞,0),对于x∈A,有g1(x)=f(x)=a成立;
      a=g(t)=(+1);
      b-a=(1+)-(+1)=(-)=(),
      因为t≥(+1),所以F(t)≤0恒成立;∴bn≤a4n-3,所以

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