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    【函数单调性的应用】函数单调性的七种应用

    时间:2019-04-16 07:23:12 来源:星星阅读网 本文已影响 星星阅读网手机站

      一、内容提要   如果函数f(x)对于区间(a,b)内任意两个值x1和x2,当x1  如果对于区间(a,b)内任意两个值x1和x2,当x1f(x2),那么f(x)叫做在区间(a,b)内是单调减少的,区间(a,b)叫做函数f(x)的单调减少区间。
      在某一区间单调增加或单调减少的函数叫做这个区间的单调函数,这个区间叫做这个函数的单调区间。
      二、函数单调性的应用
      函数的单调性既属于数学的基础知识,也是解决数学问题的重要工具。许多数学问题,比如,确定参变量的范围、证明不等式、求解三角方程、高次方程、超越方程、求解高难度的不等式,以及确定函数的周期,都要用到函数的单调性。上面我所提到的这些问题看上去用初等方法解决起来都较为困难。但是,如果采用函数的单调性来求解的话,那将变得很简单、可行。
      三、例题分析
      例1: f(x)=, 其中a是实数,n是任意给定的自然数且n≥2,如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
      解:要使f(x)有意义必须且只须 1+2x+3x…(n-1)x+nxa>0恒成立,从而a>
      
       ①,令①右端为式g(x),则g(x)在(-∞,1]上单调递增.从而有g(x)≤g(1),x∈(-∞,1]而g(1)=
      ∴g(x)≤≤ (∵n≥2)
       由式①可得a>
      例2:设00时,有f(x)在(0,1)上是增函数。则f(x)0
      解:改写原不等式为
      ( )3+>x3+5x
      令f(x)= x3+5x, 则原不等式即为
      f() >f(x) ⑥
      ∵f(x)是实数集R上的单调增函数
      ∴不等式⑥等价于不等式>x
      解之得原不等式的解为-1

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