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    【巧用“不变量”解应用题】 抓不变量解分数应用题

    时间:2019-04-16 07:23:53 来源:星星阅读网 本文已影响 星星阅读网手机站

      列一元一次方程解应用题是初一数学学习的重难点之一,而其最关键的步骤是寻找相等关系,从而正确的列出方程,在应用题中寻找相等关系的方法很多,如抓住关键句、利用公式以及列表格等,而巧用不变量有时也可以很快地找到相等关系。下面就结合自己平时的课堂教学实践加以分析说明:
      一、航行问题中的不变量
      在航行问题中涉及的不变量包括船在静水中的速度、水速、航行的距离,通常用来得到相等关系。
      例1:一艘轮船往返于甲乙两港之间,逆水航行需3小时,顺水航行需2小时,水流速度是3公里/小时,求轮船在静水中的速度.
      分析:题中往、返航行的距离和轮船在静水中的速度都是不变量。
      ①不妨直接设轮船在静水中的速度为x公里/小时。由往返航行的距离不变可得相等关系为:顺水航行的距离=逆水航行的距离。
      由下面的表格分析可以得出方程为2(x+3)=3(x―3),求得x=15。
      
      
      ②间接设顺水(逆水)航行的距离为y公里,则轮船在静水中的速度不变,可得相等关系为:顺航时静水中的速度=逆航时静水中的速度。
      ∴方程为+3=-3,求得x=36
      ∴轮船在静水中的速度为(36÷3)+3=15
      二、方案分配问题中的不变量
      例2:某校住宿生若干人,若每间住宿8人,则有5人无处住;若每间宿舍增加1人,则还空35张床位,求有多少间宿舍?多少名学生?
      分析:题中宿舍的数量与学生人数是不变量。
      ①设宿舍有x间,则由学生人数不变可得方程。此时相等关系为:第一种方案的学生人数=第二种方案的学生人数,即8x+5=9x―35,求得x=40。
      学生人数为:8×40+5=325(人)
      ②设学生人数为y人,则由宿舍数量不变可得方程。此时相等关系为:第一种方案的宿舍数=第二种方案的宿舍数,即
       ,求得y=325。
      宿舍数量为:(325―5)÷8=40(间)
      例3:一个工人在规定时间内生产一批零件,若每小时加工8个,则可超产2个,若每小时加工12个,则可提前1小时完成。求加工的零件数和规定加工的时间。
      分析:题中需加工的零件数和规定加工的时间均为不变量。
      ①设需加工的零件数为x个,则由规定加工的时间不变得方程为
      求得x=18。
      ∴规定加工的时间为(18+2)÷8=2.5(小时)
      ②设规定加工的时间为y小时,则由需加工的零件数不变得方程为8y-2=12(y-1),求得y=2.5。
      ∴需加工的零件数为8×2.5―2=18(个)
      三.浓度问题中的不变量
      例4:把含酒精60%的溶液9000克变成含酒精40%的溶液,需加水多少克?
      分析:题中两种溶液浓度不同,溶液质量不同,所含的水的质量不同,但所含的酒精质量不变,即:加水前的溶液中酒精质量=加水后的溶液中酒精质量。
      设需加水x克,可得方程为9000×60%=(9000+x)×40%,求得x=4500。
      一般情况下浓度问题中若加入溶质(如酒精),则溶剂(如水)质量不变;反之,若加入溶剂,则溶质不变。这时不变量就可作为相等关系从而得到方程。
      四、等积变形问题
      等积变形问题是指形状改变,而体积(或面积)不变。其隐含的等量关系是:变形前后体积(或面积)不变。
      例5:用直径为200毫米的圆钢,锻造一个长、宽、高分别为300毫米、300毫米和80毫米的长方体毛坯底板,应截取圆钢多少毫米?
      分析:题中锻造前后的两个物体的体积不变,即:锻造前截取的圆钢的体积=锻造后长方体毛坯的体积。
      设应截取圆钢x毫米,可得方程为
      π x=300×300×80,解得
      x=.
      例6:一圆柱形水桶的高和底面直径都是22厘米,盛满水后把水倒入底面长、宽分别是30厘米和20厘米的长方体容器。求这个长方体容器的高至少要多少厘米?
      分析: 题中圆柱形水桶装的水的体积是不变量,相等关系为:圆柱的体积=长方体的体积。
      设这个长方体容器的高至少要x厘米,可得方程为π×22=30×20x,解得
      x=.
      总之,列一元一次方程解应用题时学会关注不变量并灵活运用不变量寻找相等关系是一种有效的办法。只要我们平时善于发现、善于总结,解题能力就一定会有所提高。
      

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