巧证椭圆的光学性质
时间：2021-04-28 20:12:48 来源：星星阅读网 本文已影响 人 
人教A版选修2-1阅读材料中“圆锥曲线的光学性质”引起了同学们的极大兴趣，如何从数学的角度来研究呢. 下面以椭圆为例来研究它的光学性质.
椭圆的光学性质：当一束光线从椭圆的一个焦点发射，经过椭圆的内壁反射，它的反射光线必经过椭圆的另外一个焦点.
分析 由于光线的反射是镜面反射，实际上该问题转化为，光线实际上是被椭圆上过反射点的切线反射.
数学证明
设椭圆方程为 + = 1（a > b > 0），
（1）求椭圆上一点P（x0，y0）处的切线方程.
（2）求证：∠MPF1 = ∠NPF2.
（1）解 椭圆的切线可以看成是与椭圆相交的直线中交点与弦的中点重合.
设直线l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，线段AB的中点为C（x′，y′），则 + = 1， + = 1，两式相减得 = -，即 = - × = - × ，所以直线的斜率k = - × ，当所以直线l的方程为y - y′ = - × （x - x′），当A，B两点无限靠近时，直线l的极限状态为切线，此时中点C变成切点，所以点P处的切线方程为：y - y0 = - × （x - x0）①，又 + = 1，所以①式可變形为 × = 1.
（3）证明 用向量法证明两个角的余弦值相等.
取直线l的方向向量为n = x0，y0 - ， = （x0 + c，y0）， = （x0 - c，y0）.
则cos〈n，〉= = =
= = .
同理可证cos〈n，〉 = .
因为∠MPF1和∠NPF2都在0，内，所以∠MPF1 = ∠NPF2.
【参考文献】
[1]李超英.一个探究型教学案例—圆锥曲线的光学性质及其应用[J].中学教研（数学），2006（4）.
[2]李红春.椭圆切线方程的两种巧妙求法[J].中学生数学（高中），2014（10）.
